열역학 테이블 읽기(Retrieving Properties : Table)

1. 열역학 테이블 개요(Thermodynamic Table - Overview)

어떤 열역학 텍스트북을 참고하던, 책 후반부에 보면 Table이 정리되어있다. 주로 열역학적 사이클에 자주 활용이 되는 작동유체(Working Fluid)들의 열역학적 상태량들을 정리해놓은 표인데, 해당 테이블을 활용하여 복잡한 열역학적 관계식을 풀어야하는 과정을 생략할 수 있다(누군가가 계산해서 정리해놓은 표이다). 나중에 후반부에서 테이블을 어떻게 채워넣었는지 그 과정에 대해 정리해보는 챕터가 있는데, 우선 당장은 누군가 채워놓은 표를 우리는 잘 활용하기만 하면 된다.

 

사실 테이블에서 상태량 찾아내는것도 절대 만만한 과정은 아니다. 사이클이 조금만 복잡해져도 찾아내야할 값들이 너무많고... 친절하게 포화상태의 값을 찾아야하는 상황도 비교적 적기때문에, 정신없이 상태량 계산만하다보면 어느새 목적의식을 상실하고 무작정 계산만하고있는 나를 마주할 수 있다...

 

2. 열역학적 상태량 읽어오기(Retrieving Properties)

우선 텍스트북 뒤편에 보면 이런식으로 테이블이 정리가 되어있고, 여기서 문제조건에 맞는 작동유체를 골라 해당 테이블로 이동한다. 특히나 물같은 경우, Compressed Liquid, Two-phase, Superheated Gas 중 어떤 상태인지 잘 확인 후 올바른 테이블을 선택해야 한다.

2-1. 테이블 값 직접 추출하기

 우선 예시로 A.4 Table인 Superheated Water Vapor Table을 활용해보겠다. 열역학적 상태량은 2개의 변수에 의해 결정되기 때문에, 2개의 열역학적 상태량이 제시된 경우 다른 상태량들 역시 뽑아낼 수 있다. 가장 쉬운 경우는 제시된 조건이 테이블에 정리된 조건과 정확히 일치할 경우이고, 이경우 별도의 추가연산 없이 값만 그대로 읽어오면 된다.

 

예를들어, 문제에서 압력(p)=5bar, 온도(T)=200도 조건일 때, 엔탈피(h)값을 요구했다면, 위의 그림처럼 일치하는 라인의 값만 간단히 읽어오면 된다.

 

2-2. 선형보간법(Linear Interpolation)

사실 문제조건이 친절하게 Table에 제시된 Grid와 정확하게 일치하는 경우는 많지 않다. 보통 사이사이 값들을 요구하는 경우가 많은데, 예시로 아래의 예시를 들 수 있다.

해당 문제의 경우, p=10bar, T=215C에서의 v값을 찾을 것을 요구하는데, 이경우 Table A.4를 참고해보면 215도에 대응되는 물성치가 Table로 직접 제시되어있지 않다.

따라서 215도에 해당되는 수치를 뽑아내기 위해, 215도가 포함되도록 2개의 양끝값을 선택하고 선형보간을 통해 근사값을 뽑아낼 수 있다. 어려운건 아니고, 200도와 240도 사이의 모르는 수치를 뽑아내기 위해, 가운데 영역을 선형으로 가정한 후 값을 계산해내는 방식이다. 이를 가시화하면 아래와 같고

기울기 관계식을 통해서 215도에서의 열역학적 상태량을 계산할 수 있다. 이경우 비체적은 0.2141m3/kg으로 계산되어, 해당 값을 사용하면 된다.

2-3. 선형외삽법(Linear Extrapolation)

대다수의 경우 테이블이 제시하는 범위 내의 상태량을 물어보기 때문에, 선형보간을 통해 충분히 해결이 가능하지만 간혹 테이블 범위를 넘어서는 상태량을 요구하는 경우가 있다. 예전에 열역학 중간고사 문제로 나와서 당황을 좀 했었는데.. 어쨌든 이 경우 외삽(Extrapolation)을 통해 근사값을 구할 수 있다. 물론 개인적으로 이게 신뢰도 높은 방법이냐?라고 한다면 개인적으론 아니라 생각하지만, 그외에 마땅한 수단이 없는 것도 사실이다.

만약 같은 P=10bar와 T=700C에서의 엔탈피를 문제에서 물어본다면, 참고할만한 양끝값이 더이상 존재하지 않는다. 따라서 이 경우, 마지막 2개 구간에 대해 외삽(Extrapolation)해줄 수 있는데 이를 가시화하면 아래와 같다.

마찬가지로 Slope 관계식을 통해 원하는 지점의 열역학적 상태량을 계산해줄 수 있다.

 

2-4. 건도 관계식 활용(Quality Relations)

만약 작동 유체가 단일상(Single-Phase)가 아닌 2개 이상의 상이 혼재하는 혼합상(Multi-Phase)인 경우, 건도를 고려하여 상태량을 계산해주어야 한다. 따라서 예시로, Liquid-Vapor Table을 뽑아오면 아래와 같고

여기서 주어진 건도(x)값과 포화 액체, 증기 상태에서의 상태량을 활용해 아래와 같이 계산할 수 있다. 개인적으로 나는 아래의 식이 의미 파악이 좀 더 용이한듯 하여 주로 활용하는데

좀 더 정리해서 아래와 같은 형태로 사용할 수도 있다. 이건 개인 편의에 따라 선호도가 조금씩 다른듯한데, 편한 걸 사용하면 된다.

상황에 따라 2-1~2-4의 내용을 적절히 종합해서 상태량을 뽑아내야하고, 가장 복잡한 경우 전부 활용해야하는 경우도 간간히 있다.

 

2-5. 압축액체 법칙(Compressed Liquid Rule)

압축액체(Compressed Liquid)는 포화 상태보다 높은 압력 하에 있는 액체를 의미하는데, 이 상태에서 액체는 거의 압축되지 않기 때문에 이때 계산의 편의상 압력의 영향을 무시하고 상태량 계산이 어느정도 가능한데, 이를 압축액체 법칙(Compressed Liquid Rule)이라 한다. 한국어번역이 조금 어색하긴 한데, 여튼 그렇다.

Compressed Liquid Region은 실제로 압력선들이 촘촘하게 그려지는데, 이건 해당 영역에서는 고정된 온도에서 압력변화에 따른 v의 변화가 매우 작음을 의미한다.

실제로 압축액 테이블을 보면, 압력변화가 25bar -> 50bar로 두배이상 증가해도 비체적을 비롯한 여타 상태량들에 큰 변화가 없음을 확인할 수 있다. 따라서 여기서 편의상 압력의 영향을 배제하고 아래와 같이 온도만 고려하여 포화상태의 값을 활용할 수 있다.

아이디어의 시작은 부피와 관련된 상태량이지만, 대부분의 열역학적 상태량들이 관계식으로 연결되어있기 때문에, 다른 상태량에도 마찬가지로 해당 룰을 활용할 수 있다. 아래는 엔탈피에 대한 전개식으로, 정의에 따라 아래와 같이 전개된다.

따라서 P=25bar, T=20C에서의 상태량들을 불러오기 위해서는, 물론 테이블로 제시가 된다면 아래의 테이블에서 그대로 읽어오면 되겠지만 

그게 어렵거나 귀찮은 경우, T=20C에서 포화액(Saturated Liquid) 상태에서의 값들을 사용하면 된다. 둘간 비교를 해보면 차이가 있긴하지만 크지않고, 가정에 대한 근거를 명확히 제시하면 사용이 가능하다.

 

3. 상태량 계산 엑셀 파일 공유

아래의 엑셀파일은 학부때 수업들으면서 간단하게 만들어봤던 계산기인데, 그때그때 계산기 두드리는게 귀찮아서 만들어봤다. 요즘같으면 파이썬으로 대충만들겠지만.. 저땐 잘쓸줄몰라서 엑셀 함수로 만들어봤었다.

3-1. 선형보간(Linear Interpolation) 파트

사용법을 간단하게 정리하면, 예를들어 압력이 5,7bar가 테이블에 주어져있고, 6.9bar에서의 엔탈피 값을 계산하고 싶은 경우, 조건1,2,알고싶은 조건에 압력조건을, 그리고 그때 뽑아내야할 상태량을 그때값1,2에 입력해주면, p=6.9bar에서의 상태량이 계산되어 추출된다.

 

3-2. 건도(Quality) 파트

건도(x)가 필요한 경우는 크게 2가지가 있는데, 특정 건도값에서의 상태량을 추출하거나, 상태량을 바탕으로 건도를 추출하는 2가지 케이스가 있다. 따라서 위쪽의 함수에는 포화액과 포화가스의 상태량과 건도를 입력하면, 특정 상태에서의 상태량을 도출할 수 있고, 아래의 함수에는 포화액, 현재상태, 포화가스의 상태량을 입력하면 건도가 계산된다.

열역학 Interpolation.xlsx

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Reference

Moran, Shapiro, Boettner, Bailey, Principles of Engineering Thermodynamics, 8th Edition, 2012, 2015 John Wiley & Sons Singapore Pte. Ltd