밀폐계에서의 열역학 1법칙(1st Law of Thermodynamics for closed system)

이번 포스팅에서는 에너지, 일의 개념과 함께, 밀폐계에서의 열역학 1법칙에 대해 정리해보겠습니다.

 

열역학 1법칙은 에너지 보존법칙으로, 에너지와 일 & 열의 관계를 서술하는 법칙입니다. 따라서, 에너지, 일, 열이 무엇인지에 대해 먼저 생각해볼 필요가 있습니다.

 

1. 에너지 (Mechanical Concepts of Energy)

(1) 에너지 (Energy)

에너지(Energy)는 '일을 할 수 있는 능력'으로 정의되며, 반응의 경로에 독립적인(Path Independent) 상태량(Property)입니다. 또한, 열역학에서 가장 중요한 상태량(Property)이라 할 수 있는데, 기계공학전공에서 배우는 열역학의 주 초점이 '얼만큼의 일(Work)을, 얼만큼의 효율로 할 수 있느냐' 기 때문이죠. 에너지 자체는 꽤나 추상적인 개념이기 때문에, 보통 아래와 같이 3가지로 나누어 생각합니다.

 

움직임과 관련된 에너지는 운동에너지(Kinetic Energy), 미래에 기대되는 에너지는 퍼텐셜 에너지(Potential Energy), 그외 모든 에너지를 내부에너지(Internal Energy)로 치부합니다. 따라서 System의 에너지 변화량은 [운동에너지 변화량] + [퍼텐셜 에너지 변화량] + [내부 에너지 변화량] 으로 나누어 생각할 수 있겠죠. 퍼텐셜 에너지의 경우, System의 형태에 따라 탄성 퍼텐셜 에너지가 추가로 존재할 수 있습니다. mgz는 중력 퍼텐셜 에너지(Gravitational Potential Energy), 1/2kx^2 은 탄성 퍼텐셜 에너지(Elastic Potential Energy)가 됨을 1학년 물리학 시간에 배웠었습니다. 내부 에너지의 경우, 분자 운동과 관련된 에너지로, 계산하는  Formula가 있기는 하지만 기계공학 전공에서는 크게 중요하지는 않습니다. 주로 Table에서 데이터만 뽑아와서 사용하게 됩니다.    

 

(2) 일-에너지 정리 (Work - Energy Theorem)

또한 일-에너지 정리에 의해, 일과 에너지는 상호 전환이 가능함을 배웠었습니다

 

2. 일 (Work)

(1) 열역학적 일 (Thermodynamic Work)

 

일(Work)에 대한 '열역학적 정의'로, Textbook에 소개된 표현입니다만, 개인적으로 예시에 좀 더 가까운 설명 같습니다. "시스템 주위의 모든 것에 미치는 유일한 효과가 추를 들어올리는 것이 될 수 있으면, 시스템은 주위에 일을 한 것이다" 라는 뜻입니다. 여기서 포인트는 "될 수 있으면" 입니다. 물리학 적으로, 일(Work)은 [힘] x [힘 방향으로의 변위] 로 정의되므로, 이를 추를 들어올리는 예시에 빗대어 설명한 것 같습니다. 시스템이 주위에 미치는 모든 영향을 한데 모아서, 추를 들어올리는데만 집중했을 때, 추가 들어올려진다면, 그게 바로 일(Work)이라는 것이죠. 

 

열역학에서는 주로 유체(Fluid)를 다룹니다. 당장 생각나는 내연기관만 살펴봐도, 액체연료를 주입하고 또 연소시키죠. 그렇기 때문에 특정 점원(Point Body) 또는 강체(Rigid Body)에 가해지는 힘을 정의하기도, 힘방향으로의 변위를 특정짓기가 어렵기 때문입니다. 

 

따라서, 열역학에서 일을 계산하기 위해서 압력(Pressure)을 주로 활용합니다. 부피변화가 있다면 기존에 사용하던 일의 정의와 유사하게, 일의 양을 계산해줄수 있습니다.

 

(2) 부호설정 (Sign Convention)

 

부호 설정(Sign Convention)도 굉장히 중요한데요, System 스스로 일을 한경우 Positive, System이 일을 받은 경우 Negative한 Sign을 설정하기로 "약속"되어 있습니다. 대표적인 예시로 냉장고를 들 수 있겠네요. 외부에서 System에 전력을 공급해주기 때문에, System은 일을 받은 것이 되고, 음의 값을 설정해주어야 합니다. 반대로, 동력을 생산해내는 터빈(Turbine)같은 경우는, System이 일을 하는 케이스고, 양의 값을 설정해주어야 합니다. 

 

(3) 일을 상태량이 될 수 없다 (Path Dependent)

 

앞서 일-에너지 정리를 통해, 일은 에너지와 상호전환 가능함을 배웠었는데요, 이는 "일과 에너지의 모든 성질이 같다"는 것을 의미하는 것은 아닙니다. 에너지는 반응 경로에 독립적인 상태량(Property)이라 할 수 있었지만, 일은 그렇지 못합니다. 같은 반응 물질을 열기관에 넣어주어도, 반응 과정에 따라 생산해낼 수 있는 일의 양이 달라지기 때문입니다. 따라서 일은 Path Dependent 하며, 미분꼴도 불완전 미분꼴(Inexact Form)로 작성해주어야 합니다. dw 가 아닌, del(w) 꼴로 표기해주어야 한다는 것이죠.

 

(4) 동력 (Power)

 

동력(Power)는 일의 Time Rate을 나타내는 개념입니다. 또는 일률이라고도 합니다. 일의 단위가 [J]이므로, 일의 시간변화율을 나타내는 일률은 [J/s]의 단위를 사용하며, 일의 시간에 대한 미분형태로 표현됩니다. 따라서 일과 일률은 아래의 관계를 갖습니다.

 

3. 열전달 (Heat Transfer)

(1) 열에 의한 에너지 전달(Energy Transfer by Heat)

 

앞서 시스템과 주위 사이의 일(Work)이라는 상효작용을 살펴보았습니다. 하지만, 시스템은 일로 분류할 수 없는 방법으로도 Surrounding와 상호작용을 하는데요, 예를 들면 다음과 같습니다.

 

기체가 들어있는 컨테니어는 Rigid 하기 때문에, 부피의 변화가 발생하지 않는다 가정합시다. 뜨거운 판과 컨테이너가 접촉하여 상호작용을  한다해도, 부피의 변화가 발생하지 않기 때문에 기체는 일을 할 수 없습니다. 하지만 기체의 에너지는 증가하는 현상이 관찰되는데요, 이는 열에 의해 에너지 전달(Enerygy Transfer by Heat)되었기 때문입니다.

 

(2) 부호설정 (Sign Convention)

 

부호 설정은 일에 비해 직관적으로 이해할 수 있습니다. 외부로부터 열이 들어오면 양의 부호를, 시스템으로부터 열이 빠져나가면 음의 부호를 설정해주면 됩니다.

 

(3) 열전달량은 상태량이 될 수 없다 (Path Dependent)

 

열전달량은 과정에 따라 달라지기 때문에, 일(Work)과 마찬가지로 상태량(Property)이 될 수 없습니다. 따라서 미분꼴의 표기를 할 때, 불완전미분(Inexact Form) 꼴로 표기해주어야 합니다. 열전달 과정에는 전도(Conduction), 대류(Convection), 복사(Radiation) 크게 3가지가 있지만, 자세한 내용은 열역학이 아닌, 열전달(Heat & Mass Transfer)과목에서 배웁니다.

 

Textbook에 각각의 지배방정식이 소개가 되어있어, 저도 관계식 정도만 따왔습니다. 정량적인 열전달량은 위의 관계식에 따라 구할 수 있지만, 열역학 과목에서는 Q=+20KJ 과 같이 수치로 제시해줍니다. 이를 우리는 활용하기만 하면 됩니다.

 

(4) 열전달률 (Time Rate of Heat Transfer)

일률(Power)과 유사하게, 열전달량의 시간변화율을 의미하는 개념입니다. 따라서 Q의 시간에 대한 미분꼴로 표현되며, 위와 같은 관계식을 따르며, 단위는 일률(Power)과 마찬가지로 [J/s]를 사용합니다. 

 

이제 열역학 1법칙을 맞이할 준비를 모두 마쳤습니다. 앞서 살펴본 에너지(Energy), 일(Work), 열(Heat) 개념을 활용하여 열역학 1법칙을 Construct 해보도록 하겠습니다.

 

4. 열역학 1법칙 (1st Law of Thermodynamics)

(1) 밀폐계에서의 에너지 전달과정 (Energy Transfer for Closed System)

 

밀폐계에서의 에너지 전달 과정

열역학 1법칙을 Construct 하기 위해서는 시스템에서의 에너지 전달과정에 대해 생각해볼 필요가 있습니다. 현재 단원에서는 밀폐계(Closed System)에 대해 학습 중이니, 밀폐계만 고려해봅시다. 질량 유동이 없는 밀폐계(Closed System)에서 외부로부터 전달받는 것은 열(Heat)밖에 없습니다. 이로 인해 System의 에너지 변화가 발생합니다. 또한 일-에너지 정리에 의거하여, 에너지는 일(Work)로 전환되어 System이 일을 하게 됩니다. 반대의 경우도 가능하겠죠. 외부로부터 일을 받아 System의 에너지 Level이 변화하고, 이로인해 외부로의 열전달이 발생할 수도 있습니다.

 

이를 법칙화한 것이 바로 열역학 1법칙입니다.

 

(2) 열역학 1법칙 (1st Law of Thermodynamics)

 

Textbook의 표현은 위와 같습니다. 요약하자면, [시스템의 에너지 변화량]은 [외부와의 열전달량] - [시스템이 하거나 받은 일의 양]. 좌변은 시스템 스스로의 변화를 설명하는(Explain Yourself), 우변은 변화의 이유를 설명하는 항입니다(Explain Why?). 또한 이는 "에너지는 보존된다" 라는 의미를 내포하고 있기도 합니다. '에너지의 형태만 달라질 뿐, 총량은 일정하다' 라고 해석할 수도 있기 때문이죠. 그래서 열역학 1법칙을 에너지 보존 법칙 이라 부르기도 합니다.

 

이를 기호로 표현하면 아래의 관계식과 같습니다. 

 

보통 밀폐계(Closed System)의 경우 운동에너지, 퍼텐셜에너지를 무시하는 경우가 많습니다. 바로 뒤에서 언급하겠지만, 주로 해석하게 될 시스템이 플랜트 전체와 같은 거대한 Scale 이 되는 경우가 많기 때문입니다. 이런 경우 퍼텐셜, 운동에너지의 변화가 있을지언정, 내부에너지 변화가 압도적으로 크기때문에, 무시가 가능합니다. 물론 아닌경우도 있지만요.

 

 

이를 미분 형태 혹은 시간변화율 형태로 표현할 수도 있습니다. 이때 열(Heat)과 일(Work)은 Path Dependent하기 때문에 불완전 미분형태로 표기해야 합니다.

 

(3) 열역학 1법칙은 증명이 가능한가?

제가 열역학 1법칙을 공부하면서, 가장 많이 했던 고민입니다. 법칙이나 공식이라는 것들이 그렇지 않습니까... 증명이 없으면 받아들이기 좀 거북한... 그래서 관련해서 고민도 많이 해보고, 학부 시절 교수님들께 질문도 몇번 했던 적이 있었습니다. 

 

그래서 결론은, 열역학 법칙들은 일종의 공리(Axiom)라는 것입니다. 자연계의 보편법칙이므로, 수학적인 증명이 가능하다기 보다는, 모든 자연계의 현상들이 반례없이 해당 관계를 따르기에, 귀납적으로 세워진 법칙이라는 것이죠. 따라서 그냥 받아들이시면 됩니다.

 

지금 돌이켜보면, 꽤나 귀여운(?) 고민이었던 것 같네요.

 

5. 열역학적 싸이클 (Thermodynamic Cycle)

열역학적 싸이클 (Thermodynamic Cycle)이란, 열역학적 과정(Process)의 시작과 끝 상태(State)가 같은 연속적인 과정을 의미합니다. 대표적인 예시로는, 랭킨 싸이클(Rankine Cycle), 증기 싸이클(Vapor Cycle), 오토 싸이클(Otto Cycle) 등이 있습니다. 전부 시작 상태와 끝 상태가 같은 반응의 흐름을 보입니다. 이번 단원에서는 열역학적 싸이클에 대해 자세히 학습한다기 보다는, 열역학 1법칙을 적용해보는 연습 정도로 생각하시면 좋을 것 같습니다.

 

(1) 동력 싸이클 (Power Cycle)

Ref : Principles of engineering thermodynamics, 8th ed. Fig.8.12

위 그림은 파워플랜트(Power plant)의 모식도입니다. 컨덴서(condenser), 펌프(pump), 터빈(turbine) 등 여러 요소(component)들에 대해 해석을 하고자 한다면, 질량 출입이 있기 때문에, 앞서 살펴봤던 열역학 1법칙을 적용하기에 어려움이 있습니다. 밀폐계(Closed System)로 보기 어렵기 때문이죠. 하지만, 싸이클 전체를 System으로 잡는다면, 질량 출입이 없으므로, 하나의 거대한 밀폐계(Closed System)로 해석할 수 있습니다. 이 거대한 하나의 밀폐계에 대해 열역학 1법칙을 적용해보도록 하겠습니다.

 

앞서 살펴봤던 열역학 1법칙의 미분꼴은 위와 같았습니다.

싸이클의 시작과 끝 상태는 동일하기 때문에, 싸이클 전체에 대해 폐적분(Closed Integral)을 해주게되면, 좌우변 모두 0이 됩니다.

따라서 위와 같은 관계식이 성립합니다. 싸이클 내에서 발생한 열전달량은, System이 받거나 한 일의 양과 같다는 의미를 갖습니다. 이제 위의 복잡한 그림을 간단하게 바꿔보겠습니다.

Power Cycle

고열원에서 열을 전달받아, 여러 Component를 거쳐 일(Work)을 하고, 남은 열을 저열원으로 버리는 구조입니다. 위의 복잡한 그림과 대응시켜보자면, 뜨거운 열원은 Steam Generator, 차가운 열원은 Condenser, 나머지는 Component로 생각할 수 있겠죠. 따라서 전체 싸이클에서 발생하는 일(Work)의 양은 열역학 1법칙에 따라 [들어오는 열전달량] - [나가는 열전달량] 으로 구할 수 있습니다. 이처럼 밀폐계에서의 열역학 1법칙은, 전체 싸이클 과정에서의 해석을 하는데에 종종 사용됩니다. 이상적인 경우에'만' 사용하는 법칙은 아니라는 말이 되겠죠.

 

(2) 동력 싸이클(Power Cycle)의 열효율(Thermal efficiency)

'일을 얼만큼 했는가?'도 물론 중요한 쟁점이지만, '얼만큼의 효율로 했는가?' 역시 중요합니다. 많은 양의 일을 한다한들, 효율이 낮다면, 공학적으로 잘 설계된 열기관이라 볼 수 없겠죠.

동력 싸이클(Power Cycle)의 열효율(Thermal efficiency)은 위와 같이 정의합니다. 이는 아래와 같은 의미에 근거하여 정의되었습니다. 

 

효율이란, '내가 지불한 것 대비, 얼만큼 벌어왔는가?'라는 개념으로 볼 수 있습니다. 동력싸이클(Power Cycle)에서 일을 하기 위해 고열원에서 열을 끌어왔기 때문에, 이는 내가 지불한 것이 되겠죠. 당연히 벌어온 것은 일(Work)이 됩니다.

 

(3) 냉동 및 열펌프 싸이클 (Refrigeration & Heat Pump Cycle)

일반적인 동력싸이클과 반대 과정을 따르는 냉동 & 열펌프 싸이클 역시 있습니다. 대표적으로 에어컨, 냉장고 같은 것들의 기본 작동원리가 바로 냉동 싸이클(Refrigeration Cycle)입니다. 이들은 저열원의 열을 뺏어와 고열원에 열을 버리는 구조로 구성되어 있습니다. 이는 차후 배울 열역학 2법칙에 위배되는 흐름이기에, 자연적인 반응으로는 절대 나타날 수 없습니다. 그렇기에 추가적인 일(Work)을 System에 해주어야 싸이클 반응이 유지됩니다.

Ref : Principles of engineering thermodynamics, 8th ed. Fig.10.9

위의 그림은 Cascade Vapor Compression Refrigeration Cycle의 모식도입니다. 차후 해당 싸이클에 대해 자세히 배우게 됩니다만, 역시 지금 수준에서는 싸이클 전체를 하나의 Closed System으로 잡고, 열역학 1법칙 정도만 사용해줍시다.

복잡한 싸이클을 간단하게 모식화해보면 다음과 같습니다. 역시 열역학 1법칙에 따라, Input되는 일(Work)의 양은 Cycle내의 열전달량과 같으며, 이는 [나가는 열전달량] - [들어오는 열전달량]이 됩니다. 이때 부호는 (-)가 되는데, 이는 일이 투입되어야 함을 의미합니다. 

 

(4) 냉동 & 열펌프 싸이클(Refrigeration & Heat Pump Cycle)의 성능계수(Coefficient of Performance)

냉동 싸이클과 열펌프 싸이클은 저열원의 열을 뺏어와 고열원에 열을 버린다는 공통점이 있지만, 서로 다른 목적을 갖습니다. 냉동 싸이클의 경우, 저열원에서 얼마나 열을 많이 뺏는지에, 열펌프 싸이클의 경우, 고열원으로 얼마나 열을 전달하는지에 목적이 있습니다. 따라서 Input되는 열의 양은 두 싸이클이 같을지언정, 싸이클의 성능은 다르게 정의되어야 합니다.동력 싸이클에서는 싸이클의 열효율을 정의했었는데, 냉동, 열펌프 싸이클의 경우 일(Work)을 발생시키지 않고, 오히려 소비를 하기 때문에, '효율'이라는 표현 대신 '성능계수' 라는 새로운 지표를 정의합니다. 

 

하지만 성능계수(COP) 역시, 지불한 것 대비 벌어온 것 이라는 틀자체는 열효율과 동일합니다. 일을 Input 해주었기 때문에, 지불한 것은 당연히 일(Work)이 되어야 하며, 저열원으로 열을 뺏어오는게 목적인 냉동 싸이클(Refrigeration Cycle)은 저열원으로 부터 직접적으로 뺏어온 열의 양 (Q_in)을 Earn 하였고, 열원으로의 열전달이 목적인 열펌프 싸이클(Heat Pump Cycle)은 고열원에 버리는 열의 양(Q_out)이 Earn하였다 볼 수 있습니다.

냉동 싸이클의 COP

열펌프 싸이클의 COP

따라서, 냉동 & 열펌프 싸이클의 성능계수(COP)는 위와 같이 정의할 수 있습니다.