열린계에서의 열역학 1법칙(1st Law of Thermodynamics for open system)

1. 검사체적 이론(Control Volume Theory)

앞서 계의 종류에 대해 정리했었고, 밀폐계(Closed System)에 대한 열역학 1법칙에 대해 알아본 바가 있었다.

https://ymechanics.tistory.com/entry/Introduction-For-Thermodynamics

열역학 개요 (Introduction For Thermodynamics)

https://ymechanics.tistory.com/entry/%EB%B0%80%ED%8F%90%EA%B3%84%EC%97%90%EC%84%9C%EC%9D%98-%EC%97%B4%EC%97%AD%ED%95%99-1%EB%B2%95%EC%B9%991st-Law-of-Thermodynamics-for-closed-system

밀폐계에서의 열역학 1법칙(1st Law of Thermodynamics for closed system)

 

앞선 글들의 내용을 간단하게 먼저 요약하자면, 밀폐계의 경우, 내부의 질량변화가 없기 때문에 비교적 시스템의 해석이 간편하고, 그에 따른 에너지 보존 역시 간단한 형태로 정의할 수 있었다. 다만, 밀폐계는 대부분 전체 플랜트 규모에서의 시스템 해석에서나 적합한 접근이고, 시스템 내부의 요소 하나하나에 대한 해석이 필요할 때 적합한 접근이라 보기 어렵다. 대표적으로 펌프나 컴프레서 등을 예로 들어보면, 질량 출입이 발생하고 이를 함께 고려해주어야 한다. 이 경우 질량유동 때문에 입자(Particle) 하나하나를 추적하며 시간이 지남에 따라 위치, 속도 등의 변화를 기술하는 라그랑지안(Lagrangian) 관점에서의 해석이 대단히 어렵기 때문에, 특정 공간(위치)를 기준으로한 해석법인 오일러(Eulerian) 관점에서의 해석이 적합하다. 따라서, 오일러 관점에서의 해석을 위해 고정하고 볼 공간이 필요하고, 이를 검사체적(Control Volume)이라 말한다.

보통 검사체적은 단일 컴포넌트 하나로 설정하는 경우가 많은데(예를들면, 펌프 하나, 컴프레서 하나 등), 이건 문제 상황에 따라 당연히 다르게 잡아야할 상황도 분명 많다. 어쨌든 결론은, 특정 Control Volume을 잡고 그 내부에서 일어나는 일에 대해 관심갖지 않겠다는 것이 Control Volume Theory의 핵심 내용이다.

 

2. 검사체적에서의 질량보존(Conservation of Mass for a Control Volume)

개방계에서는 질량유동이 발생하기 때문에, 우리가 잡은 Control Volume 내로 들어오거나 나가는 유동이 존재한다. 따라서 아래와 같이 Mass Rate Balance 식을 구성할 수 있다.

이는 아래와 같이 증명할 수 있다.

전체 질량이 일정하도록 특정 시점 t와 미소시간만큼 시간이 흐른 t+del(t) 시점을 그려보면 위와 같다. 각 시점별 질량의 총량은 일정하기 때문에 등식을 구성할 수 있고, 이를 del(t)로 나누어 미분형태로 표현해주면 어렵지 않게 유도할 수 있다.

* Volumetric Flow Rate

질량 유동의 척도로는 Volumetric Flow Rate을 주로 활용한다. 질량 유량은 시간당 흐른 질량의 양으로 정의가 되고, 따라서 kg/s 단위를 갖는다. 주로 질량 유동은 파이프와 같은 실린더형 채널을 통해 일어나므로, 이를 유속(속도)과 단면적으로 분리할 수 있다.

여기서 Vn은 단면적에 수직방향의 속도이며, 단면적을 지나는 유량은 수직방향 속도의 함수이기 때문에 위와 같이 정리할 수 있다. 자세한 내용은 아래의 그림을 참고.

그래서 최종적으로 Mass Flow Rate은 다음과 같이 정리할 수 있다.

여기서 좀 더 단순화하여 1-D상황을 가정하면 아래와 같이 단순화할 수 있으며, 이를 Volumetric Flow Rate이라 한다.

 

3. 검사체적에서의 에너지 보존(Conservation of Energy for a Control Volume)

이제 특정 Control Volume에 대해 에너지 보존식을 구성해보겠다. 앞서 정리했던 밀폐계의 경우를 떠올려보면, 에너지 보존 방정식은 [에너지 변화량 = 열의 양 - 일의 양]으로 구성되었다. 개방계의 경우도 크게 다르지않은데, 여기에 추가로 Inlet과 Outlet을 통해 출입하는 질량의 에너지를 고려해주면 된다. 이를 말로 정리해보면 아래와 같고

수식으로는 다음과 같이 정리할 수 있겠다.

크게 전체 에너지를 내부에너지, 운동에너지, 퍼텐셜에너지 3가지 측면에서 mass flow에 따른 에너지 전달량을 기술할 수 있다. 이에 대한 유도는 앞서 mass balance와 유사하게 해줄 수 있다.

 

t 시점에서 inlet으로 들어오는 에너지와 Control Volume의 에너지, 그리고 전달되는 열과 일의 양이 곧, del(t)만큼 흐른 이후에 Control Volume과 Oulet으로 나가는 에너지의 양이 될 것이다.

따라서 이를 정리해주고, del(t)로 나눠준 후 극한을 취해주면 어렵지 않게 유도가 가능하다.

여기서 에너지에 대해서 유체의 흐름(Flow)에 따른 영향을 따로 분리해서 기술하기 위해 Flow Work를 따로 떼어내줄 수 있다. 열이나 일이라는게 특히나 다양한 요인으로 분리가 가능한데, Flow에 따라 변위가 발생하고 이로인해 발생하는 일을 Flow Work이라 한다. 따라서 Inlet과 Outlet에서 유체의 흐름으로부터 발생하는 일을 아래와 같이 Flow Work로 분리해서 생각할 수 있다. 

 따라서 아래와 같이 식정리가 가능하고, Flow Work를 제외한 나머지 모든 일의 양을 cv로 묶어줄 수 있다.

다시 원래 식으로 돌아와서, W = Wcv + Flow work으로 분리해주면 식이 아래와 같이 정리되고 (속도와 비체적을 헷갈리지 않도록 주의)

h = u +pv 이므로, 엔탈피로 이부분을 묶어주면 최종적으로 아래와 같이 식이 정리된다.

여기서 Inlet과 Outlet이 꼭 하나일 필요는 없기 때문에, 아래와 같이 일반화해줄 수 있다.

 

4. 정상상태 해석(Steady-State Analysis)

주로 문제로 만나게 될 상황은 대부분 정상상태(Steady-State)를 가정한다. 물론 Transient한 상황은 수식 세우는 과정자체가 복잡하고, 방정식을 푸는 과정도 Analytic Solution을 구하기 어렵다던지 그런 문제점도 있겠지만, 그럼에도 정상상태를 가정하는 어떤 합리적인 이유는, 특정 Component의 성능을 평가하는 척도는 주로 Steady-State에 진입했을 때의 성능을 가지고 판단하는 경우가 꽤나 많기 때문이다. 

Reference[2]

예를들어, 자동차의 성능을 평가하는 상황을 가정해보자. 제로백과 같이 Transient한 Performance를 판단 척도로 내세울수도 있지만, 차량이 100km/h에 도달했을때의 어떤 내부 파라미터들을 활용하여 평가를 할수도 있다. 이 경우 위와 같이 속도가 목표값에 도달하여 원하는 오차범위 내에 들어왔을 때 비로소 Steady-State에 진입했다 판단할 수 있고, 이때의 파라미터들을 활용할 수 있을 것이다. 그래서 하고싶은 말은 Steady-State가 생각보다 실제 작동 환경과 동떨어진 이상적인 가정은 아니라는 것.

 

Steady-State 가정이 문제 조건으로 제시되면, Mass Rate Balance와 Energy Rate Balane 2가지에 대해 식을 정리할 수 있다.

Mass Rate Balance

 보통 그래서 mi = me = m으로 편하게 통일해서 사용할 수 있고, 최종적으로 아래와 같이 식이 정리된다.

Energy Rate Balance

 

 

 

Referecne

[1] : Moran, Shapiro, Boettner, Bailey, Principles of Engineering Thermodynamics, 8th Edition, 2012, 2015 John Wiley & Sons Singapore Pte. Ltd

[2] : https://velog.io/@717lumos/Control-PID-%EC%A0%9C%EC%96%B4